Konsep Dasar Persamaan Differensial
Tuesday, November 21, 2017
0
comments
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan
derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh persamaan diferensial:
- Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematika untuk rekayasa sebab banyak hukum dan hubungan fisik muncul secara matematis dalam bentuk persamaan diferensial.
- Persamaan diferensial (disingkat PD) diklasifikasikan dalam dua kelas yaitu biasa dan parsial.
- Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Persamaan (1), (2), (3) adalah contoh PDB.
- Persamaan Diferensial Parsial (disingkat PDP) adalah suatu persamaan diferensial yang mempunyai dua atau lebih variabel bebas. Persamaan (4) adalah contoh PDP
- Orde persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut, contoh:
- Persamaan di atas dapat ditulis dengan notasi lain yaitu:
- Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan tertinggi suatu persamaan diferensial, contoh:
- Syarat tambahan pada persamaan diferensial, untuk satu nilai variabel bebas yang mempunyai satu atau lebih nilai syarat disebut syarat awal (initial conditions). PD dengan syarat awal dikatakan sebagai suatu masalah nilai awal (initial-value problem). Jika syarat yang diberikan pada PD lebih dari satu nilai variabel bebas, disebut syarat batas dan merupakan PD dengan masalah nilai batas (boundary-value problem).
Contoh:
adalah PD dengan masalah nilai awal karena dua syarat pada x yang sama yaitu x=2
adalah PD dengan masalah nilai batas karena dua syarat pada x yang berbeda yaitu x=1 dan x=2
Linieritas Dan Homogenitas
Persamaan diferensial biasa orde-n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk:
dengan a0(x)≠ 0
- Jika tidak maka persamaan diferensial dikatakan tidak linier.
- Jika koefisien a0(x), a1(x),... an(x) konstan maka disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan, jika tidak disebut persamaan differensial linier dengan koefisien variable.
- Jika F(x) = 0, maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika F(x) ≠ 0 disebut tidak homogen.
Contoh:
Solusi (Penyelesaian) PDB
Beberapa jenis solusi PD akan dijabarkan sebagai berikut:
Solusi PD bentuk eksplisit yaitu solusi PD dengan fungsi yang mana variabel bebas dan variabel tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Solusi eksplisit dinyatakan dalam bentuk y = f(x). Contoh solusi/ fungsi eksplisit: y = x2 + 5x + 4
Solusi PD bentuk implisit yaitu solusi PD dengan fungsi yang mana variabel bebas dengan variabel tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Fungsi implisit ditulis dalam bentuk f(x,y) = 0. Contoh solusi/fungsi implisit: x2 + y2 = 25 atau x2 + y2 - 25 = 0
Penyelesaian implisit dan penyelesaian eksplisit, keduanya secara singkat biasa disebut penyelesaian PDB.
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) terbagi dalam tiga jenis solusi yaitu:
Solusi Umum (Penyelesaian Umum): solusi PDB yang masih mengandung konstanta sebarang misalnya c.
Contoh PD
mempunyai penyelesaian umum y = cx3
Solusi Khusus/Partikulir (Penyelesaian Khusus/Partikulir):
solusi yang tidak mengandung konstanta variabel karena terdapat syarat awal pada suatu PDB.
Contoh PD
dengan syarat x(0) = 4, mempunyai penyelesaian khusus y = x3 + 4
Solusi Singular (Penyelesaian Singular): solusi yang tidak diperoleh dari hasil mensubstitusikan suatu nilai konstanta pada solusi umumnya.
Contoh: y = cx + c2 diketahui sebagai solusi umum dari PDB: (y’)2 + xy’ = y , tetapi disisi lain PDB tersebut mempunyai penyelesaian lain:
, penyelesaian ini disebut sebagai penyelesaian singular.
Metode Penyelesaian
Metode yang digunakan untuk mencari solusi (menyelesaikan) Persamaan Diferensial antara lain:
- Metode Analitik: Metoda ini menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit. Untuk masalah-masalah yang komplek metode analitik ini jarang digunakan karena memerlukan analisis yang cukup rumit.
- Metode Kualitatif: Solusi PDB didapatkan dengan perkiraan pada pengamatan pola medan gradien. Metode ini memberikan gambaran secara geometris dari solusi PDB. Metode ini meskipun dapat memberikan pemahaman kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan metode ini tidak digunakan untuk kasus yang komplek.
- Metode Numerik. Solusi yang diperoleh dari metode ini adalah solusi hampiran (solusi pendekatan/aproksimasi). Dengan bantuan program komputer, metode ini dapat menyelesaikan PDB dari tingkat sederhana sampai pada masalah yang komplek.
Pembentukan Persamaan Diferensial
Secara matematis, persamaan diferensial muncul jika ada konstanta sembarang dieliminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan.
Contoh:
Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut:
TERIMA KASIH ATAS KUNJUNGAN SAUDARA
Judul: Konsep Dasar Persamaan Differensial
Ditulis oleh Mas Sam
Rating Blog 5 dari 5
Semoga artikel ini bermanfaat bagi saudara. Jika ingin mengutip, baik itu sebagian atau keseluruhan dari isi artikel ini harap menyertakan link dofollow ke https://matematikatekniksamodro.blogspot.com/2017/11/konsep-dasar-persamaan-differensial.html. Terima kasih sudah singgah membaca artikel ini.Ditulis oleh Mas Sam
Rating Blog 5 dari 5
Categories:
0 comments:
Post a Comment
Terima kasih sudah memberikan komentar dan berkunjung ke blog ini.